Численное моделирование решений обратной граничной задачи теплопроводности

В работе рассмотрена обратная граничная задача теплопроводности. Для ее решения предложены различные подходы, основанные на использовании преобразований Лапласа и Фурье. Применение преобразования Лапласа позволило получить операторное уравнение, характеризующее явную зависимость искомой граничной функции от исходных данных на другой границе. Метод, основанный на использовании прямого и обратного преобразований Фурье по переменной, характеризующей время, позволяет получать устойчивые решения, погрешность которых является неулучшаемой по порядку. Предложенные подходы послужили основой для разработки алгоритмов численного решения рассматриваемой задачи и для проведения вычислительного эксперимента, в результате которого были решены обратные задачи для некоторых модельных функций.

Ключевые слова

уравнение теплопроводности, преобразование Фурье, преобразование Лапласа, метод регуляризации, метод проекционной регуляризации.

Литература

1. Jonas, P. Approximate Inverse for a One-Dimensional Inverse Heat Conduction Problem / P. Jonas, A.K. Louis // Inverse Problems. - 2000. - V. 16. - С. 175-185.
2. Prud'homme, M. Fourier Analysis of Conjugate Gradient Method applied to Inverse Heat Conduction Problems / M. Prud'homme, T.H. Hguyen // International J. of Heat and Mass Transfer. - 1999. - V. 42. - С. 4447-4460.
3. Cialkowski, M. Sequential and Global Method of Solving an Inverse Problem of Heat Conduction Equation / M. Cialkowski, K. Grysa // J. of Theoretical and applied Mechanics. - 2010. - V. 48. - С. 111-134.
4. An Analytical Solution for Two-Dimensional Inverse Heat Conduction Problems Using Laplace Transform. International / M. Monde, H. Arima, W. Liu, Y. Mitutake, J.A. Hammad // J. of Heat and Mass Transfer. - 2003. - V. 46. - P. 2135-2148.
5. Деч, Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и Z-преобразования / Г. Деч. - М.: Наука, 1971.
6. Япарова, Н.М. О различных подходах к решению обратных граничных задач тепловой диагностики / Н.М. Япарова // Вестник ЮУрГУ. Серия 'Математика. Механика. Физика'. - 2012. - № 34. - С. 60-67.
7. Лаврентьев, М.М. Некорректные задачи математической физики и анализа / М.М. Лаврентьев, В.Г. Романов, С.П. Шишатский. - М.: Наука, 1980.
8. Менихес, Л.Д. Конечномерная аппроксимация в методе М.М. Лаврентьева / Л.Д. Менихес, В.П. Танана // Сибирский журнал вычислительной математики. - 1998. - Т. 1, № 1. - С. 416-423.
9. Танана, В.П. Об оптимальном по порядку методе решения условно-корректных задач / В.П. Танана, Н.М. Япарова // Сибирский журнал вычислительной математики. - 2006. - Т. 9, № 4. - С. 353-368.
10. Солодуша, С.В. Моделирование систем автоматического управления на основе полиномов Вольтерра / С.В. Солодуша // Моделирование и анализ информационных систем. - 2012. - № 1. - С. 60-68.