A Numerical Method for Inverse Spectral Problems

На основе метода Галеркина разработан новый численный метод решения обратных спектральных задач, порожденных дискретными полуограниченными снизу операторами. В отличии от метода решения обратных спектральных задач, основанного на теории регуляризованных следов дискретных полуограниченными снизу операторов, в разработанном методе ослаблены ограничения на возмущающий оператор. Получено интегральное уравнение Фредгольма первого рода, позволяющее восстанавливать значения возмущающего оператора в узловых точках дискретизации области исследования. Метод был апробирован на спектральных задачах для оператора Штурма-Лиувилля. Результаты многочисленных расчетов показали вычислительную эффективность метода.
Найдены простые формулы для вычисления собственных значений дискретных полуограниченных снизу оператора, без нахождения корней соответствующего векового уравнения. Вычисление собственных значений этих операторов можно начинать с любого их номера независимо от того, известны ли собственные значения с предыдущими номерами. Можно вычислять собственные значения возмущенного самосопряженного оператора с большими номерами, когда применение метода Галеркина становится затруднительным.

Ключевые слова

обратная спектральная задача; дискретные и самосопряженные операторы; собственные числа, собственные функции; некорректно поставленные задачи.

Литература

1. Ambarzumian, V.A. Ueber eine frage der eigengwerttheorie / V.A. Ambarzumian // Zeits. f. Phisik. - 1929. - № 53. - P. 690-665.
2. Borg, G. Eine umkehrung der Sturm-Liouvilleschen eigenwertaufgabe / G. Borg // Acta Math. - 1945. - V. 78, № 3. - P. 1-90.
3. Марченко, В.А. Некоторые вопросы теории дифференциального оператора второго порядка / В.А. Марченко // ДАН СССР. - 1950. - Т. 72, № 3.- С. 457-460.
4. Крейн, М.Г. Определение плотности неоднородной симметричной струны по спектру частот / М.Г. Крейн // ДАН СССР. - 1951. - Т. 76, № 3.- С. 345-348.
5. Садовничий, В.А. О некоторых свойствах операторов с дискретным спектром / В.А. Садовничий, В.В. Дубровский // Дифференциальные уравнения. - 1979. - Т. 15, № 7. - C. 1206-1211.
6. Дубровский, В.В. К обратной задаче для оператора Лапласа с непрерывным потенциалом / В.В. Дубровский, А.Н. Нагорный // Дифференциальные уравнения. - 1990. - Т. 26, № 9. - С. 1563-1567.
7. Дубровский, В.В. Обратная задача для степени оператора Лапласа с потенциалом из $L^2$ / В.В. Дубровский, А.Н. Нагорный // Дифференциальные уравнения. - 1992. - Т. 28, № 9. - С. 1552-1561.
8. Дубровский, В.В. Восстановление потенциала по собственным значениям различных задач / В.В. Дубровский // Успехи математических наук. - 1996. - Т. 51, вып. 4. - С. 155-156.
9. Дубровский, В.В. Теорема существования в обратной задачи спектрального анализа / В.В. Дубровский // Дифференц. уравн. - 1997. - Т. 33, № 12. - С. 1702-1703.
10. Дубровский, В.В. К теореме существования решения в обратной задаче спектрального анализа / В.В. Дубровский, В.В. Дубровский (мл.) // Успехи математических наук. - 2001. - Т. 56, вып. 1. - С. 161-162.
11. Закирова, Г.А. Обратная задача спектрального анализа для степеней оператора Лапласа на равнобедренном прямоугольном треугольнике / Г.А. Закирова, А.И. Седов // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. - 2008. - № 2. - С. 34-42.
12. Закирова, Г.А. Приближенное решение обратной спектральной задачи для оператора Лапласа / Г.А. Закирова, А.И. // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2008. - № 27 (127), вып. 2. - С. 19-27.
13. Садовничий, В.А. Обратная задача спектрального анализа для степеней оператора Лапласа с потенциалом на прямоугольнике / В.А. Садовничий, В.В. Дубровский, В.В. Дубровский (мл.) // ДАН. - 2001. - Т. 337, № 3. - C. 310-312.
14. О восстановлении потенциала в обратной задаче спектрального анализа / В.А. Садовничий, В.В. Дубровский, В.В. Дубровский (мл.), Е.А. Пузанкова // ДАН. - 2001. - Т. 380, № 4. - C. 462-464.
15. Садовничий, В.А. О единственности решения обратных задач спектрального анализа / В.А. Садовничий, В.В. Дубровский, Л.В. Смирнова // ДАН. - 2000. - Т. 370, № 3. - C. 319-321.
16. Садовничий, В.А. Об обратной задаче спектрального анализа для степеней оператора Лапласа с потенциалом / В.А. Садовничий, В.В. Дубровский, Е.А. Пузанкова // ДАН. - 1999. - Т. 367, № 3. - C. 307-309.
17. Садовничий, В.А. Обратная задача спектрального анализа для степени оператора Лапласа на прямоугольнике / В.А. Садовничий, В.В. Дубровский, Е.А. Пузанкова // Дифференциальные уравнения. - 2000. - Т. 36, № 12. - C. 1693-1698.
18. Седов, А.И. О приближенном решении обратной задачи спектрального анализа для степени оператора Лапласа на прямоугольнике / А.И. Седов // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2010. - № 16 (192), вып. 5. - C. 73-78.
19. Кадченко, С.И. Численный метод решения обратных задач, порожденных возмущенными самосопряженными операторами, методом регуляризованных следов / С.И. Кадченко // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. - 2013. - № 6 (107). - С. 23-30.
20. Кадченко, С.И. Численный метод решения обратных задач, порожденных возмущенными самосопряженными операторами / С.И. Кадченко // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2013. - Т. 6, № 4. - С. 15-25.
21. Кадченко, С.И. Решение обратных спектральных задач, порожденных возмущенными самосопряженными операторами, методом регуляризованных следов / С.И. Кадченко // Вестник МаГУ. Серия: Математика. - 2013. - Вып. 15. - С. 34-43.
22. Кадченко, С.И. Численный метод решения обратных спектральных задач, порож-денных возмущенными самосопряженными операторами / С.И. Кадченко // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. - 2013. - № 9 (100). - С. 5-11.
23. Михлин, С.Г. Вариационные методы в математической физике / С.Г. Михлин. - М.: Наука, 1970. - 510 с.
24. Демидович, Б.П. Основы вычислительной математики / Б.П. Демидович, И.А. Марон. - М.: Наука, 1966. - 659 с.
25. Васильева, А.Б. Интегральные уравнения / А.Б. Васильева, Н.А. Тихонов. - М.: МГУ, 1989. - 156 с.